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| 73.1 Functions and Variables for romberg |
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Romberg法による数値積分を計算します。
romberg(expr, x, a, b)は積分
integrate(expr, x, a, b)の概算を返します。
exprは、 xが浮動小数点値にバインドされた時 浮動小数点値に評価される式でなければいけません。
romberg(F, a, b)は積分
integrate(F(x), x, a, b)の概算を返します。
ここで、 xは Fの名付けられない唯一の引数を表します;
実際の引数は xと名付けられません。
Fは、引数が浮動小数点値の時、浮動小数点値を返す
Maximaか Lispの関数でなければいけません。
Fは翻訳またはコンパイルされた Maxima関数を指定することができます。
グローバル変数 rombergabsと rombergtolが
rombergの精度を決定します。
rombergは、連続する近似の間の絶対差が
rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が
rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。
従って、
rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、
相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。
rombergは、
あきらめる前に、せいぜい rombergit回、ステップサイズを半分にします;
それゆえ関数評価の最大回数は 2^rombergitです。
もし rombergabsや
rombergtolによって確立される誤差基準が満たされないなら、
rombergはエラーメッセージを印字します。
rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います;
これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。
rombergは、積分変数を特定の値にバインド(する前ではなく)した後、
被積分関数を繰り返し評価します。
この評価ポリシーは、多次元積分を計算するための
rombergの入れ子のコールを可能にします。
しかしながら、誤差計算は入れ子の積分の誤差を考慮しないので、
エラーは過小評価されるかもしれません。
また、多次元問題のために特別に工夫された方法は
より少ない関数評価で同じ精度をもたらす可能性があります。
load(romberg)はこの関数をロードします。
QUADPACK、数値積分関数のコレクションも参照してください。
例:
1次元積分。
(%i1) load (romberg);
(%o1) /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
+ 1/((x - 3)^2 + 1/200);
1 1 1
(%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
2 1 2 1 2 1
(x - 1) + --- (x - 2) + ---- (x - 3) + ---
100 1000 200
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3) 9.9999999999999995E-7
(%i4) rombergit : 15;
(%o4) 15
(%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
(%o5) 173.6730736617464
(%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
(%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
+ 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
+ 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
(%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o7) 7.5527060865060088E-11
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rombergの入れ子のコールで実装された 2次元積分。
(%i1) load (romberg);
(%o1) /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
x y
(%o2) g(x, y) := -----
x + y
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3) 9.9999999999999995E-7
(%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
(%o4) 0.81930239628356
(%i5) assume (x > 0);
(%o5) [x > 0]
(%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
3
2 log(-) - 1
9 2 9
(%o6) - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
2 6 2
(%i7) exact : radcan (%);
26 log(3) - 26 log(2) - 13
(%o7) - --------------------------
3
(%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o8) 1.3711979871851024E-10
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Categories: Package romberg ·Numerical methods
デフォルト値: 0.0
グローバル変数 rombergabsと rombergtolは
rombergの精度を決定します。
rombergは、連続する近似の間の絶対差が
rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が
rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。
従って、 rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、
相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。
rombergitと rombergminも参照してください。
Categories: Package romberg
デフォルト値: 11
rombergは、あきらめる前に、せいぜい
rombergit回、ステップサイズを半分にします;
それゆえ、関数評価の最大回数は 2^rombergitです。
rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います;
これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。
rombergabsと rombergtolも参照してください。
Categories: Package romberg
デフォルト値: 0
rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います;
これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。
rombergit, rombergabs, rombergtolも参照してください。
Categories: Package romberg
デフォルト値: 1e-4
グローバル変数 rombergabsと rombergtolは
rombergの精度を決定されます。
rombergは、連続する近似の間の絶対差が
rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が
rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。
従って、 rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、
相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。
rombergitと rombergminも参照してください。
Categories: Package romberg
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この文書は市川 雄二によって2014年9月月15日にtexi2html 1.82を用いて生成されました。